Топология

Топология (от грц.
topos място, и logos — наука).

Топологията е основна математическа дисциплина, която се интересува от онези свойства на фигурите, които не се променят, т. е. устойчиви са при деформации (свиване, разтягане), стига тези деформации да не са придружени от разкъсвания на фигурата или от слепвания на нейни точки. Ето защо понякога се казва, че топологията изучава „еластичните“ фигури за разлика от елементарната геометрия, която изучава „твърдите“ фигури. Първият пример за топологично свойство е посочен от Л. Ойлер през 1752 г., когато той доказва, че за всеки изпъкнал многостен е изпълнена зависимостта V-E+F=2. Това свойство е топологично, тъй като се запазва при произволна деформация без разкъсване и слепване. Аналогична формула е вярна и за тор (повърхнината на кравайче). Ако върху тор се начертае мрежа от линии, изпълнено е равенството V-E+F=0.

Две фигури се наричат топологично еквивалентни, ако едната от тях може да се деформира в другата. Торът и сферата например не са топологично еквивалентни, защото в противен случай изразът V-E+F и за двете фигури би бил равен. За да се установи в общия случай, че две фигури не са топологично еквивалентни, необходимо е да се намери такова топологично свойство на едната фигура, което не се притежава от другата. Тополозите се опитват да намерят пълен (и по възможност минимален) списък от топологични свойства, чиято наличност у две фигури би гарантирало топологичната им еквивалентност. За съжаление досега това не е осъществено. Ето защо все още тополозите търсят колкото е възможно повече интересни топологични свойства на фигурите. Изразът V-E+F за една повърхнина се нарича нейна ойлерова характеристика. Тази характеристика е достатъчна, за да се установи например, че торът и сферата не са еквивалентни. Но може да съществуват повърхнини с една и съща ойлерова характеристика, които да не са еквивалентни. Две такива фигури са торът и т. нар. лист на Мьобиус.

Важно топологично свойство на, фигурите е тяхната топологична размерност. Разпространено е заблуждението, че правата е едномерна, защото положението на произволна точка върху нея се определя с една координата, че равнината е двумерна, защото положението на точка от нея се определя с две координати, и т. н. Още Г. Кантор (1845—1918) показва през 1877 г., че положението на всяка точка в равнината или пространството също може еднозначно да се определи с помощта на една координата. Точно определение на понятието размерност е намерено през 1911—1913 г. в работите на А. Поанкаре, А. Брауер и А. Льобег.

През 1912 г. холандският математик Л. Брауер (1881 — 1966) доказва знаменитата теорема за наличността на неподвижна точка на непрекъснато изображение на кръг в себе си.

Още от края на XIX в. в работите на Поанкаре по топология все по-широко се използват алгебрични методи, по-специално от теорията на групите. С тяхна помощ топологията навлиза решително в такива класически области като вариационното смятане, диференциалната геометрия, диференциалните уравнения и т.н. В последно време се наблюдава интензивно проникване на методи на топологията в апарата на съвременната физика — в теорията на полето и в общата теория на относителността, в съвременната квантова теория.

У нас през последните 25 години са извършени значителни изследвания в областта на топологията от Д. Дойчинов, Ив. Проданов, Ст. Недев, Г. Скордев, П. Кендеров, Н. Хаджииванов, Д. Дикранян, В. Вълов и др.