Теория на функциите

Теория на функциите
(от теория, и лат.
functio — функция)

Теорията на функциите изучава понятието функция на различни равнища. Днес под функция се разбира съответствие между множества от числа.

Льожон Дирихле
Льожон Дирихле (1806—1859). Немски математик. Едва в началото на XX разбирането му за понятието функция намира съществено развитие.
Класическото разбиране за естеството на функциите е оформено през XVIII в. То е свързано с възможността за представяне на функциите чрез аналитичен израз или формула, например полином или степенен ред на една или повече променливи, тригонометричен израз и др. Обикновено с помощта на функции се изразяват важни физични закони. Предполагало се е, че всяка функция притежава важното свойство уникалност, т. е. устроена е като някакво „органически свързано цяло“ върху естествената си дефиниционна област. В рамките на това разбиране Л. Ойлер (1707—1783) създава теорията на функциите, в която не се разграничава отчетливо случаят на реална и комплексна променлива. Негово постижение е това, че той успява да свърже предмета с теорията на числата. През XIX в. разбирането за понятието функция еволюира. Под влиянието на изследвания, свързани с тригонометричните редове, възникват функции, които не се включват в рамките на класическото разбиране. Като изпреварва времето си, немският математик Л. Дирихле определя понятието функция като съответствие. Абстрактното разбиране на функциите като съответствия засилва вниманието към принципния въпрос за пълноценното теоретично разработване на класическото разбиране. Това става възможно благодарение на прогреса, реализиран през XIX в., относно изясняването на естеството на комплексните числа (имагинерни величини съгласно с терминологията от XVII и XVIII в.). И. Нютон (1642—1727) и Г. Лайбниц (1646—1716) например не смятат имагинерните величини за числа, въпреки че Лайбниц поне формално разбира значението им. Благодарение на Л. Даламбер (1717—1783), К.-Фр. Гаус (1777—1855), К. Весел (1745—1818) и Ж. Арган (1768— 1822) в началото на XIX в. математиците придобиват ясна представа за комплексните числа. Усвояването на комплексната равнина довежда до създаването на основа за развитие на теорията на аналитичните функции на една комплексна променлива. Тази теория е създадена от О. Коши (1789—1857), Б. Риман (1826—1866) и К. Вайерщрас (1715—1897). Исторически това е първата голяма теория на функциите. По-късно възникват и други съгласно с измененията в разбирането за понятието функция.

Любомир Чакалов
Любомир Чакалов (1886—1963)
Създаването на теорията на множествата от Г. Кантор (1845—1918) през втората половина на XIX в. е предпоставка за появата на нов вид теория на функциите — т. нар. теория на реалните функции, в която абстрактното разбиране за функциите като съответствие е естествено. Всъщност подбуди има още при Риман във връзка с неговата теория на интегрирането, където се интегрират дори и някои прекъснати функции. Създатели на теорията на реалните функции са френските математици Р. Бер (1874—1932), Е. Борел (1871—1956) и А. Льобег (1875—1941). Теорията изиграва решителна роля за усъвършенстване на теорията на интегрирането и бързо намира много приложения. Принос имат и френският математик А. Данжоа (1884—1974) и съветските математици А. Я. Хинчин (1894—1959) и Н. Н. Лузин (1883—1950).

Днес терминът теория на функциите се употребява в локален аспект за редица частни случаи. Изключение прави теорията на обобщените функции, която има важно значение в теорията на частните диференциални уравнения и изобщо в съвременния анализ. Тя е свързана с ново разбиране за понятието функция.

В България в теорията на реалните и аналитичните функции работят успешно много математици: акад. К. Попов, aкад. Н. Обрешков, акад. А. Чакалов, акад. Бл. Сендов, проф. Я. Тагамлицки, проф. Д. Дойчинов, проф. Ив. Проданов, проф. Ив. Димовски и др.

Вжиж Комплексен анализ.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>