Теория на множествата

Две множества са равномощни, ако
между елементите им може да се
установи взаимно еднозначно
съответствие. Ако са крайни,
равномощните множества имат
еднакъв брой елементи.
Трансфинитните кардинални числа
характеризират равномощните
безкрайни множества — те дават
„броя на елементите“ на безкрайните
множества, т. е. обобщават бройните
числителни — едно, две, …,
в областта на безкрайното;
трансфинитните ординални числа
обобщават по подобен начин редните
числителни — първи, втори, … .

Теорията на множествата е математическа дисциплина, която изучава абстрактните множества. Почти всички важни математически обекти може да се представят като множества с определени свойства. Фундаменталната роля на множествата се изяснява след трудовете на основоположника на теорията на множествата — немския математик Г. Кантор.

Теорията на множествата се заражда във връзка с изследвания в областта на математическия анализ. Б. Болцано (1781—1848), П. Дюбоа-Раймон (1831 — 1889), Р. Дедекинд (1831—1916) и други се интересуват главно от точкови множества (свързани със сходимостта на редовете на Фурие, интегрирането на прекъснати функции и т. н.). Кантор прави решителна крачка към разглеждане на абстрактни множества, съставени от произволни обекти. За кратък, но много плодотворен период (1872—1883) той развива теорията на трансфинитните (кардинални и ординални) числа — ядрото на съвременната теория на множествата, като въвежда понятията равномощност, добра наредба, трансфинитна индукция. С помощта на знаменития си диагонален метод той доказва, че множеството на реалните числа е неизброимо (т. е. не е равномощно на множеството на естествените числа) и по-общо, че множеството на всички подмножества на дадено множество никога не е равномощно на самото множество. Естествено следствие е съществуването на т. нар. трансцендентни числа. От друга страна, Кантор установява равномощността на евклидовите пространства с различна размерност. С това са поставени основите на математическото изучаване на безкрайните множества и изобщо на понятието безкрайност.

Георг Кантор
Георг Кантор (1846—1918). Немски математик.
„Под многообразие или множество аз разбирам изобщо всяко много, което може да се мисли като едно, т. е. всяка съвкупност от определени елементи, която може да се свърже в едно цяло с помощта на някакъв закон…“ („Основи на общото учение за мновообразията“).

Интуитивното канторово разбиране сближава множествата с логическите класове. Макар и неявно, Кантор се ръководи от два основни принципа: принцип за екстензионалност (множествата еднозначно се определят от елементите си) и принцип за абстрактност (всяко осмислено свойство Р определя едно множество — множеството на обектите, които задоволяват това свойство). Взети заедно обаче, тези два принципа са противоречиви. Откритите в края на XIX в. парадокси на К. Бурали-Форти (за множеството на всички ординални числа), на Кантор (за мощността на множеството на всички множества), на Б. Ръсел (за множеството на всички множества, които са собствени елементи) и т. н. показват, че се налага грижлива ревизия на въпроса, кои съвкупности може да се разглеждат като множества без противоречие, кои конструкции не извеждат извън границите на безопасните множества, кога множеството може да се приеме за коректно дефинирано.

Е. Цермело предлага през 1908 г. първия последователен анализ, довел до една аксиоматична система, която кодифицира разбирането на света на множествата като кумулативна йерархия, т. е. схващането на множествата като резултати на процес на построяване, при който елементите възникват преди самото множество. Допълнена през 1922 г. от А. Френкел с една аксиома, днес тази система е общоприета и се обозначава с буквите ZFC.

Аксиомата за избора (АС)
гласи: нека F е фамилия от
нeпразни и двe по две
нeпрeсичащи се множества.
Тогава съществува множество
В, което има точно по един
общ елемент с всяко
множество от F.

Характерна аксиома на системата ZFC е аксиомата за избора (АС). Необичайните следствия на това твърдение, например „парадоксът на кълбото“, предизвикват тревога у някои математици. Е. Борел (1871—1956), А. Льобег (1875—1941), H.H. Лузин (1883—1950) полагат много усилия за проясняване на статуса на аксиомата за избора и на нейната роля в математическия анализ. Плод на тези усилия е класическата дескриптивна теория на множествата.

Полските математици
Ст. Банах и А. Тарски
доказват с помощта на АС, че
всяко кълбо може да се разреже на
краен брой части, от които
може да се сглоби кълбо с двойно
по-голям обем („парадокс на
кълбото“).

Днес е ясно, че без АС структурата на математическия анализ и на алгебрата би се усложнила необичайно, а други области (като общата топология) изобщо не биха съществували. Ето защо е много важен резултатът на К. Гьодел (1906—1977), че АС е непротиворечива по отношение на останалите аксиоми на ZFС. Немският математик доказва, че е невъзможно в ZFC да се опровергае знаменитата континуум-хипотеза на Кантор, която гласи: „Не съществуват безкрайни множества от реални числа, които да не са изброими и същевременно да не са равномощни на целия континуум“.

През 1963 г. П. Дж. Коен доказва независимостта на АС спрямо останалите аксиоми, както и на континуум-хипотезата спрямо ZFC. С помощта на развитата от него техника за построяване на специални интерпретации на аксиоматичната теория на множествата през следващите години е показано, че голям брой нерешени математически задачи не може да бъдат решени на основата на аксиомите на ZFC. Възниква ситуация, твърде сходна (макар и по-сложна) със ситуацията при откриването на неевклидовите геометрии. Неканторовите теории на множествата се изследват интензивно и може би някоя от новопредложените аксиоми ще извоюва всеобщо признание на „истинска“ аксиома. Известни шансове за това има т, нар. аксиома за детерминираност (АD), предложена през 60-те години на XX в. от полските учени Я. Мицелски и X. Щейнхаус. Тя противоречи на аксиомата за избора, но чрез нея се доказва едно по-слабо следствие на АС, което е достатъчно за нуждите на анализа. От друга страна, с помощта на АD се решават някои интересни задачи в дескриптивната теория на множествата, в теорията на мярката и в други раздели на математиката.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>