Неевклидова геометрия

графика
Ако в равнината една права c пресича правите a и b така, че сборът на прилежащите към едната страна на c ъгли е по-малък от два прави, то правите а и Ь се пресичат, и то от страната на ъглите а и b (аксиома на успоредните прави).

Още в антично време евклидовата аксиоматика за геометрията възбужда въпроса за задоволителността на избраните аксиоми. Безпокойство създава аксиомата за успоредните прави, или т. нар. пети постулат.

В „Елементи“ на Евклид тази аксиома има важно значение. Чрез нея се извеждат основни теореми на геометрията — напр. тази, според която сумата на ъглите в триъгълника е равна на 180°. Причината за споменатото безпокойство е от фундаментален характер. Тя е свързана със самото разбиране за наука, която в древността се отъждествявала с философията. Именно в античната гръцка философия се стига до разграничаване на „познанието, извлечено от основни неопровержими истини“ (наречено теоретично), от познанието на емпирично установените факти. Наличността на „основни неопровержими истини“ се смятала за ясна от само себе си. Тези „истини“ изразявали самото съществуване на света. За геометрията такива истини са аксиомите.

графика
През XVIII в. Дж. Плейфер открива еквивалентна формулировка на петия постулат: през точка Р, която не лежи на правата р, минава само една права I, която не пресича р и лежи в равнината на Р и р (това формулиране влиза в традиционния курс на средното училище)

Съвременното разбиране за аксиомите е различно от античното. Въпросът за връзката на аксиомата за успоредните прави с реалния свят е труден за изясняване. Природата не ни дава ясна представа за това, което наричаме права линия, продължаваща неограничено в две противоположни посоки. Не се знае доколко античните гръцки математици са навлезли във въпроса за физичното мотивиране на петия постулат, но през XIX в. този въпрос е повдигнат от К.-Фр. Гаус (1777—1855) и успешно анализиран от Б. Риман. През първата половина на XIX в. става ясно, че решаването на проблема е свързано със самата му постановка. Възниква идеята за друга геометрия, в която вместо аксиомата за успоредните прави да фигурира нейното логическо отрицание. Разбира се, приемането на логическото отрицание на аксиомата за основа на нова геометрия, непотвърдено от нито едно наблюдение, не е било по силите дори на такива учени като Дж. Сакери и Й. Ламберт (XVIII в.).

Николай Лобачевски
Николай Иванович Лобачевски (1792—1856). Руски математик с основен принос в алгебрата и математическия анализ.

Първите публикации по неевклидова геометрия са направени от Н. И. Лобачевски през 1829г., който е и основоположник на тази наука. Същото откритие независимо от него публикува унгарският геометър Я. Бояи през 1832 г. Междувременно Гаус вече владее началата на неевклидовата геометрия, но не публикува нищо, за да избегне колизията с консервативно настроените последователи на традиционното разбиране за геометрия. Наистина античното разбиране за аксиомите води неизбежно до следния въпрос: логически са възможни две взаимноизключващи се геометрии — коя от тях изразява истината за физичния свят? От друга страна, меродавната по това време философия на И. Кант (1724— 1804) учи, че има вродено (предопитно, априорно) познание за пространството. С коя от двете геометрии е свързано нашето вродено познание? За математиците разликата между гръцкото и кантовото разбиране за света е несъществена, но и в двата случая съществува непреодолима трудност при разбирането на връзката математика—реален свят. С голяма научна прозорливост Гауд предлага тезата, че и двете геометрии може да служат за описание на физичния свят, т. е. точно това, което изглежда безсмислено, ако трябва да се защити гръцката или кантовата философия. Аргументацията му е следната: при геодезичните измервания върху земната повърхнина се работи само с малки триъгълници (в сравнение с размерите на Земята) и сумата от ъглите им е толкова близка до 180°, че поради неизбежните грешки при измерванията не може да се отчете разликата. Евклидовата геометрия може да се смята валидна върху земната повърхнина, но не и за по-големи мащаби.

Бернхард Риман
Бернхард Риман (1826—1866). Немски математик, професор. Поставя на нови основи цели области на математиката

Като анализира понятието права от физична гледна точка, Риман заключава, че природата (или опитът, свързан с нея) не ни убеждава в „безкрайността“ на правите, а по-скоро показва, че следвайки една права, напр. екватора на земното кълбо, никога не се стига до някакъв край. Опитът подсказва по-скоро неевклидова, отколкото евклидова геометрия, фактически Риман открива нова геометрия, наречена сферична или елиптична, която се различава от тази на Аобачевски (наречена по-късно хиперболична). Логически издържани модели на неевклидова геометрия са предложени от Е. Белтрами (1835—1900), Ф. Клайн (1949—1925) и А. Поанкаре (1854—1912). Тези модели стимулират развитието на математически въпроси и подготвят почва за бъдещото развитие на математическата логика.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>