Математическа логика

Математическа логика (от
математика, и грц. logos – дума,
слово, понятие, мисъл, разум).

Логиката е наука, която изучава механизмите и нормите на мисленето във връзка с изразяването му в езика. Неин създател е Аристотел, който през IV в. пр. н. е. описва цяла система от схеми на умозаключения, правилни независимо от значенията на термините, които участват в тях, т. е. само по силата на формата си. Оттук идва и наименованието формална логика.

„Употребяваме знаците не само
да предадем нашите мисли на
други лица, а и за да облекчим
самия процес на нашето мислене.“
Г. Лайбниц

През средните векове формалната логика се обогатява с употребата на символи най-напред в трудовете на философите схоластици Р. Лулий (1234—1315), Д. Скот (1270—1308), У. Окам (1281—1324) и др. Основоположник на символната логика обаче е Г. Лайбниц (1646— 1716). В около 30 съчинения (най-важни от тях са „За изкуството на комбинаториката“, 1666, и „Монадология“, 1714) той предвижда основните принципи за математизирането на логиката.

Едва през XIX в. главно чрез усилията на А. де Морган (1806—1871) и Дж. Бул (1815—1864) започват да се реализират предсказанията на Лайбниц. Де Морган създава алгебрата на бинарните релации, а Бул предлага в книгата си „Изследване на законите на мисълта“ (1854) първата систематично изградена алгебра на класовете. Математическата логика е млада наука — тя се ражда в края на XIX в. Революцията в областта на математическата строгост, свързана с О. Коши, Б. Болцано, К. Вайерщрас и Р. Дедекинд, поражда необходимостта да се преразгледа критично езикът, който се използва в математиката, методите, чрез които се дефинират абстрактните математически обекти, и законите на логиката, които са ръководещи при разсъжденията за подобни обекти. Тези задачи са решени в трудовете на Дж. Пеано (1858—1932) и Г. Фреге (1848—1925). При тях и особено в монографията Б. Ръсел и А. Уайтхед „Principia mathematica“ (1910) присъстват всички основни идеи на математическата логика: използване на изкуствени логически езици, чиито елементи (формули) изразяват, когато са интерпретирани, математически факти; формулиране на специални правила за преминаване от едни формули към други правила за извод; изучаване на формални аксиоматични теории (или смятания), т. е. на системи, които се състоят от много аксиоми (изходни формули) и правила за извод.

Аксиоми на съждителното смятане
Аксиоми на съждителното смятане (по Хилберт – Бернайс)

Онези формули, които изразяват верни факти независимо от интерпретацията си, се наричат тавтологии. Главното свойство на правилата за извод е, че те запазват верността на формулите. Онези формули, които може да се получат от аксиомите на дадено смятане с помощта на правилата, са теоремите на смятането. Най-простият логически език е езикът на съждителната логика. Неговите формули А, В, С, … се строят от съждителните променливи р, q, г, … чрез връзките конюнкция \wedge (…и…), дизюнкция \vee (…или…), импликация \to (ако…, то…) и отрицание \urcorner (…не…). Теоремите на съждителното смятане се получават от аксиомите чрез правилата модус поненс (от А и А\toВ може да се мине към В) и правилото за субституция (от А може да се мине към резултата от едновременното заместване на някоя променлива, която се среща в А, с формулата В). Тъй като аксиомите са тавтологии, то и теоремите също са тавтологии. Смятането е пълно, т. е. в него се получават всички тавтологии.

Аксиоми на теорията на групите
Аксиоми на теорията на групите

Езикът на предикатната логика от I ред е разширяване на съждителния език с въвеждането на индивидни променливи и на предикатни и функционални символи (които се интерпретират съответно като обекти, техни релации и операции над тях). При построяването на формулите освен гореописаните връзки участват и кванторите \forallх (за всяко х) и \existsх (за поне едно х, или съществува х). Теоремите на предикатното смятане са тавтологии. На базата на предикатното смятане може да се строят формални аксиоматични теории за някои части от математиката. Теоремите на теорията на групите напр. са верни във всяка група и обратно — всяко твърдение от този език, вярно във всички групи, е теорема на теорията.

Онази част от математическата логика, която се занимава със съотношението между множествата твърдения (аксиоми) и математическите структури, в които тези твърдения са верни (модели на аксиомите), се нарича теория на моделите. Основен резултат тук е теоремата за пълнота на К. Гьодел. От нея следва, че предикатните тавтологии съвпадат точно с теоремите на предикатното смятане.

Курт Гьодел
Kypm Гьодел (1906—1976). Теоремата му за пълнота гласи: едно множество от аксиоми е непротиворечиво тогава и само тогава, когато притежава модел.

Кризата в основите на математиката от началото на XX в, поставя остро задачата за обосноваване на методите за разсъждаване, употребявани в математиката. Д. Хилберт (1862 – 1943) посочва, че за оправдание на методите е достатъчно да се покаже, че те не водят до противоречие. За целта е необходимо да се обхване цялата математика във формални системи, а непротиворечивостта им да се демонстрира със сигурни, финитни (нагледни) средства. Програмата на Хилберт за такова финитно гарантиране на достоверността на математиката се проваля през 1931 г., когато Гьодел до-казва знаменитите две теореми за непълнота. Първата от тях гласи, че всички приемливи от гледището на Хилберт и достатъчно богати системи са непълни, т. е. има твърдения от езика им, които са верни, но не са техни теореми. Втората посочва едно такова твърдение – твърдението, което изразява непротиворечивостта на самата система.

Тези теореми на Гьодел поставят началото на друг важен клон от математическата логика – теорията на доказателствата. Тук съществени приноси през 30-те години на XX в. имат Ж. Ербран, Г. Генцен и др. Днес математическата логика е обширна област от математическото знание. Тя има приложение в математическия анализ, теорията на множествата и топологията, алгебрата, информатиката.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>