Диференциално и интегрално смятане

Диференциалното и интегралното
смятане (от лат. differentialis –
различен, integralis от integer –
непокътнат, и смятане.

Класическото диференциално смятане е метод за изследване на функции, локално устроени като линейните. Върху всеки малък участък графиката на такава функция се заменя с допирателна права към нея. Грешката, която се допуска при тази замяна, е толкова по-малка, колкото по-малък е взетият участък. Обикновено интегралното смятане се схваща като метод за пресмятане на дължини, лица и обеми.

Геометрично тълкуване на теоремата на Лайбниц - Нютон
Геометрично тълкуване на теоремата на Лайбниц – Нютон

Основните понятия на диференциалното и интегралното смятане са: диференциал, интеграл и производна. През XVII в. те се определят с помощта на понятието безкрайно малко, а днес — с основни понятия, като граница, непрекъснатост и реално число. Това е най-популярното съвременно схващане за диференциалното и интегралното смятане. Основна е теоремата на Лайбниц—Нютон теорема на Лайбниц—Нютон (f е непрекъсната в х),

която показва връзката между операциите диференциране и интегриране. Формулата
формула 2 когато F(х)=f(х)

има практическа стойност — тя дава средство за пресмятане на интегралите. Производната има две важни тълкувания. Първото е свързано с геометрията — понятието допирателна права, а второто с механиката — понятието моментна скорост
формула 3

Съвременните схващания за диференциалното и интегралното смятане надхвърлят рамките на класическите представи. Един аспект е свързан с функционалния анализ (диференциално и интегрално смятане върху пространства на Банах и други по-общи пространства).

Геометричен смисъл на понятието диференциал
Геометричен смисъл на понятието диференциал

Друг аспект се определя от глобалния анализ, при който се реализират идеите на класическото диференциално и интегрално смятане за т. нар. гладки (диференцируеми) многообразия, които са устроени локално като многомерни векторни пространства. Тук основни понятия са векторните полета и диференциалните форми — теоремата на Лайбниц—Нютон се замества от формулата на Стокс формула на Стокс. С помощта на глобалния анализ се изучават по-сложни обекти, като топологичния строеж на многообразията, поведението на сложни механични системи (чрез фазовото им пространство, което е диференцируемо многообразие) и др. За разлика от други математически дисциплини (напр. алгебрата, в която се използват само финитни средства) диференциалното и интегралното смятане съществено се опира на понятието безкрайност — използва нефинитни (инфинитизимални) средства. В началната си фаза на развитие основите на диференциалното и интегралното смятане са свързани с понятия като променливо количество, безкрайно малко, безкрайно голямо, променлива величина.

През XVIII в. диференциалното и интегралното смятане се схваща като математика на променливите величини. Понятието променлива величина, въведено от Р. Декарт (1596—1650), по естествен начин довежда до консумирането на различни мисловни понятия от нефинитен характер, които будят подозрения относно законността им. Като преминават през много стадии на изясняване и затъмняване, в ръцете на такива учени, като Й. Кеплер (1571—1630), Б. Кавалиери (1598—1647), Декарт, Дж. Валис (1616—1703), П. дьо ферма (1601 — 1665), И. Бароу (1630—1677), Я. Бернули(1654—1705), Й. Бернули,(1667—1748), Г. Допитал (1661—1704), диференциалното и интегралното смятане се оформя окончателно като самостоятелна дисциплина към края на XVII в. от Г. Лайбниц (1646—1716) и И. Нютон (1643—1727), които неправилно се сочат като единствени техни създатели.

Понятието променлива величина и свързаните с него диференциално и интегрално смятане допринасят за математизирането на идеята за движение. Това е съществен принос в сравнение с античната математика. Вярно е, че античните гръцки геометри (Евклид, Евдокс) са смятали за възможна операцията неограничено деление на дадена отсечка на половинки, но именно тази възможност била препятствие за разбирането на това, което наричаме непрекъснато движение (известният парадокс на Зенон за Ахил и костенурката). „В непрекъснатостта се заключават безброй много половинки, но това е само възможност, а не реалност.“ (Аристотел, „Физика“)

С помощта на математическото понятие за движение и съответната математическа техника — диференциалните уравнения, през XVII, XVIII и XIX в. се оформя небесната механика, създадена от Нютон и развита от такива учени, като Ойлер, Лагранж и Лаплас. С това се поставя началото на системното използване на математиката във физиката, което за разлика от античната гръцка космология е изключително успешно. Днес съдържателно-приложният обхват на диференциалното и интегралното смятане е огромен. От една страна, този метод е основа за решаването на конкретни проблеми от инженерно-технически характер, а, от друга — има важно значение при формирането на нашите теоретични представи за реалния свят (съвременният глобален анализ заедно с глобалната диференциална геометрия е неотделима част от математическата физика). През XX в. диференциалното и интегралното смятане намира приложение и в такива науки, като икономиката и биологията.

Поучителна е еволюцията на разбирането за „безкрайно малките“ в диференциалното и интегралното смятане. Преди около 3000 години в публикациите на Лайбниц се появяват знакът за диференциал dx, dy и правилата за смятане с безкрайно малки, които веднага срещат възражения. В ръцете напр. на такъв изключителен математик като Ойлер те дават забележителни резултати, които сами по себе си не будят възражения, но въпросът за доказателствата им създава чувство за загадъчност и съмнение. В началото на XIX в. O. Коши (1789—1857) предлага т. нар. твърда база за анализа, т. е. понятието граница като основа за определянето на непрекъснатост и производна. Интересно е да се отбележи, че в наше време с помощта на техника от математическата логика — т. нар. нестандартен анализ (А. Робинсон, 1970), смятането с безкрайно малките е напълно реабилитирано. Предложеното формализиране е напълно строго и което е по-важно, дава възможност за плодоносни научни изследвания в различни области.

Вж. Теория на функциите.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>