Диференциална геометрия

Диференциална геометрия (от
лат. differentialis – различен и
геометрия.

Диференциалната геометрия е наука, която изучава кривите и повърхнините със средствата на математическия анализ — диференциалното и интегралното смятане. Тя възниква като метод през XVIII в. Нейни създатели са Л. Ойлер (1707 – 1783) и Г. Монж. Първата книга по предмета е написана от Монж през 1795 г. Окончателното оформяне на диференциалната геометрия като самостоятелна дисциплина прави К.-Фр. Гаус (1777— 1855), създал през 1827 г. теорията на повърхнините. Всъщност диференциалната геометрия се заражда през XVII в. като приложен аспект на откритото по това време диференциално и интегрално смятане. Така погледнато, може да се смята, че Г. Лайбниц (1646—1716) е пионер на тази наука.

Гаспар Монж
Гаспар Монж (1746 – 1818). Френски математик и общественик, член на парижката АН.

Класическата диференциална геометрия има два главни дяла: теория на кривите и теория на повърхнините. По-късно възниква римановата геометрия, както и други обобщаващи я направления. В теорията на кривите се изучават локални свойства, т. е. такива свойства, които са валидни за произволно малки участъци от една крива. Това се постига с помощта на понятията тангенциална права и оскулачна равнина, които еднозначно се съпоставят на всяка точка от кривата (т. е. реализират най-добро допиране за двукратно гладките криви). Чрез тях се определят основните понятия кривина и торзия. С понятията главна нормала и бинормала се определя т. нар. триедър на Френе, който дава възможност да се получат естествените уравнения на кривата, даващи пълна информация за локалните й свойства. В теорията на повърхнините освен тангенциална равнина и нормала участват понятията: главни направления, нормална кривина, главна кривина, основни квадратични форми и gp. Още Ойлер установява връзката между нормалната кривина в произволно направление и главните кривини.

Кривините са числови (понякога по-общи) характеристики, които описват доколко свойствата на „изкривените“ обекти (криви и повърхнини) се отклоняват от тези на „изправените“ обекти (права и равнина). Нормалната кривина „измерва“ закривяването на т. нар. нормално сечение на повърхнината в тази точка. В дадена точка на една повърхнина всъщност това е подходящо подбрана крива в дадено направление. Оказва се, че във всяка точка на една регулярна повърхнина има две взаимноперпендикулярни направления, чиито главни кривини характеризират главната кривина във всяко друго направление (теорема на Ойлер). Напълно задоволителна теория на повърхнините обаче създава Гаус. Тази теория се основава изцяло на основните квадратични форми, които са алгебричната основа на теорията. Понятието квадратична форма идва от алгебрата и е обобщение на квадратния тричлен. Коефициентите на първата квадратична форма се означават обикновено с Е, F и G. Произведението на главните кривини (наречено гаусова кривина) се изразява само чрез коефициентите на първата и втората квадратична форма. Гаусовото разбиране за повърхнините води до т. нар. вътрешна геометрия на повърхнините. Римановата геометрия е обобщение на гаусовата теория на повърхнините за многомерни повърхнини (многообразия. Днес тя притежава много обобщения, важни не само за математиката, но и за съвременната теоретична физика. Тенденцията е диференциалната геометрия да прерасне в универсален език за математиката и физиката. Касае се за „геометризиране“ на теоретичната физика обстоятелство, пророкувано още от Р. Декарт. В България пионер в областта на диференциалната геометрия е акад. Боян Петканчин (1907—1987). Негови ученици са проф. Г. Станилов (р. 1933) и доц. И. Иванова (р. 1933). Акад. Ив. Тодоров (р. 1933), доц. В. Цанов (р. 1949) и П. Николов (р. 1948) работят върху приложението на диференциалната геометрия в теоретичната физика.

Виж: Диференциално и интегрално смятане.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>