Геометрия

Геометрия – от грц. gea – земя
и metron – мярка

Геометрията е наука, която според традиционните разбирания изучава пространствените форми. Съвременните схващания еволюират в различни направления.

Като практическа дейност, свързана с измерването на площи и обеми, геометрията датира още от древността (повече от 2000 г. пр. н. е., Египет и Вавилон). В този смисъл появата на геометрията предхожда формирането на понятието за наука, което се ражда в антична Гърция (VII—I в. пр. н. е.). Древногръцките математици създават геометрия, в която правилата за смятане са заменени с разсъждения без помощта на числа. Това се дължи на нежеланието им да приемат идеята за други числа освен целите и рационалните (дробите). Проблемът за съизмеримост — една от централните идеи на античната математика, довежда гръцките математици до откриването на ирационалните числа, но те остават неразбрани (напр. фактът, че диагоналът на квадрат със страна единица не може да се измери с помощта на рационални числа, е бил известен).

Около III в. пр. н. е. се появява известното съчинение на Евклид „Елементи“, което е първата логическа систематизация на натрупаните дотогава геометрични знания. С това съчинение е свързано откриването на аксиоматичния метод като средство за излагане на фактическия материал. Голяма крачка напред в сравнение с тясно прагматичната египетска и вавилонска математика е обстоятелството, че античната гръцка геометрия има предназначението да служи за изучаване на света като цяло. Античната гръцка космология (макар и неправилна) е опит за създаване на теоретична астрономия, в която се използва геометрия (само свойствата на окръжността и сферата — напр. Птолемеевата геоцентрична система). Създаването на хелиоцентричната система през XVI в. (Н. Коперник. Й. Кеплер) довежда до първото съществено приложение на античната гръцка геометрия — използването на елиптичната орбита в астрономията. Теорията на коничните сечения (елипса, хипербола, парабола) е развита още през II в. пр. н. е. от Аполоний и други гръцки математици.

Рене Декарт
Рене Декарт (1596 – 1650). Френски философ, математик, физик и физиолог

Първият съществен успех в геометрията след древните гърци е постигнат от художниците от епохата на Ренесанса и архитектите на XVII в. Той е свързан с проблемите на перспективата. Най-впечатляващ резултат е проективната геометрия, открита от френския архитект Ж. Дезарг (1581—1661). Нуждата от знания за кривите и повърхнините, стимулирана и от наченките на картографията през XVII в., води до създаването на аналитичната геометрия от Рене Декарт и П. дьо Ферма (1601—1665). В аналитичната геометрия точките се определят с помощта на координати — числа, а кривите и повърхнините — с помощта на уравнения. Алгебрата става инструмент за изучаване на геометрията за разлика от античната математика, където геометрията се използва за изучаването на алгебрични и аритметични съотношения (напр. при Евклид решаването на квадратните уравнения се извършва геометрично и отговорът се дава с помощта на отсечка).

Вече оформеното през XVII в. диференциално и интегрално смятане създава реална основа за изучаването на други основни свойства на кривите, като напр. наклон и закривяване, които са недостъпни за аналитичната геометрия. Г. Лайбниц (1646—1716) и Г. Лопитал (1661 — 1704) са пионери на един нов метод в геометрията, който през XVIII и XIX в. се оформя като самостоятелна дисциплина от Л. Ойлер (1707—1783), Г. Монж (1746— 1818) и К.-фр. Гаус (1777—1855). В началото на XIX в. възниква опозиция срещу методите на алгебрата и анализа в геометрията. Инициатор е Монж, който заедно с учениците си Н. Карно (1796—1832), Ш. Брианшон (1785—1864) и Ж. Понселе (1788—1867) развива проективната геометрия и създава дескриптивната геометрия. Стремежът за „освобождаването на геометрията от йероглифите на анализа“ (Карно) несъмнено напомня античната геометрия, но духът на развитие през целия XIX в. не е такъв. Именно през този век се стига до истински разцвет на новата геометрия. Най-значимото откритие през първата му половина е неевклидовата геометрия. Немският математик Б. Риман (1826— 1866) създава през 1854 г. т. нар. риманова геометрия — едно широко обобщение на гаусовата теория на повърхнините, което се основава на основното понятие риманова метрика. През втората половина на XIX в. геометрията се свързва с теорията на групите (тогава нов дял на алгебрата, създаден в началото на XIX в. от Е. Галоа).

Феликс Клайн
Феликс Клайн (1849 – 1925)

Немският математик Феликс Клайн създава ново разбиране за геометрията (Ерлангенската програма, 1972), което дава естествена класификация за известните дотогава геометрии. Норвежкият математик С. Ли (1842—1899) развива идеите на Клайн в аспект, свързан с анализа, и вече през XX в. френският математик Е. Картан (1869—1951) продължава делото в още по-широк аспект, свързан с анализа, диференциалната геометрия и механиката. Изследванията в това направление (псевдогрупови структури) продължават и днес. В началото на XX в. се развива алгебричният апарат на римановата геометрия — тензорното смятане (Дж. Ричи), идеята за успоредност в контекста на тази геометрия — „паралелно пренасяне“ (Й. Леви-Чивита), и теорията на пространствата с афинна свързаност (X. Вайл), ново съществено развитие на идеите на Риман, в което понятието афинна свързаност заменя понятието риманова метрика. През първата половина на XX в. Алберт Айнщайн използва римановата геометрия като основа за общата теория на относителността. По-точно той използва локалната кривина на пространството около телата с маса за обяснение на гравитационните им свойства. С това геометрията става фундамент на съвременната космология. Днес се работи за обединяването на гравитацията и електромагнетизма в единна математическа теория.

Пионер на геометрията в България е проф. Д. Табаков, който е автор на първата българска научна публикация по математика в чужбина.

Вж. Аритметика, Диференциална геометрия, Неевклидова геометрия и Теория на групите

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>