Вариационно смятане

Вариационно смятане (от латински vario – вариация, и смятане

Класическото вариационно смятане е част от математическия анализ. Представлява метод за намиране на екстремали на функции, криви и други, които минимизират даден функционал. Такива задачи възникват в геометрията и механиката. Заражда се през XVII и се развива теоретично през XVIII в. от Л. Ойлер и Ж. Лагранж. Исторически първата задача на вариационното смятане е задачата за брахистохроната, поставена още от Г. Галилей. През началния период са решени много конкретни задачи. Особено значение при участието на учени като Г. Лайбниц (1646 – 1716) и Й. Бернули (1667 – 1748) има задачата за геодезичните и изопериметричната задача. Понятието геодезична обобщава понятията права линия и отсечка от евклидовата геометрия, когато тримерното евклидово пространство се заменя с повърхнина или пространство от по-об вид. По-точно геодезичните, които съответстват на понятието права линия и отсечка, се наричат съответно геодезични линии и геодезични отсечки или минимални геодезични. Втрху сферата например всяка дъга PQ от голяма окръжност (P и Q са краищата) е минимална геодезична. Това е кривата с минимална дължина, която лежи въху сферата и съединява точните P и Q.

Леонард Ойлер
Леонард Ойлер (1707 – 1783). Велик швейцарски математик, физик, астроном. Оказва силно влияние върху развитието на науката. Работи в много области: математически анализ, диференциани уравнения, вариационно смятане, теория на еластичността, математическа физика, оптика, теория на музиката, теория на машините, балистика, небесна меганика и др.

Бернули и Ойлер са пионери в решаването на задачата за търсене на минимални геодезични върху повърхнини – те решават тази задача в много конкретни случаи. Интересът към геодезичните се свързва с факта, че движенията на консервативните механични системи с няколко степени на свобода се извършват по геодезични линии (в подходящо подбрано риманово многообразие).

Изопериметричната задача е една от основните задачи на вариационното смятане. Първоначалното ѝ формулиране е следното: от всички затворени линии със зададен периметър в равнината да се намери тази, която ограничава област с максимално лице.

Жозеф Лагранж
Жозеф Лагранж (1736 – 1813). Френски математик, механик и астроном. Поставя основите на аналитичната механика.

Логически задоволителното описание на това, което се нарича вариационна задача, изисква радикално обобщение на понятието функция. Това е понятието функционал, напълно коректно определение на което се получава едва след създаването на функционалния анализ. Грубо казано, касае се за функция, чиято дефиниционна област не се състои от числа, а е множество от обекти, например определен вид криви, функции, някакви състояния на дадена механична система. Вариационното смятане е съществено свързано с класическата механика. Връзката се съдържа в т. нар. вариационни принципи на механиката. Съвременното вариационно смятане има две главни направления: глобално вариационно смятане и теория на оптималното управление. Първото е свързано с топологията. Развива се през XX век (затворени геодезични върху риманово многообразие, неравенства на Морс). Другото направление възниква след втората световна война и в зародишна форма е подбудено от инженерни проблеми на ракетната техника; сега е в разцвета си. Обобщено е в различни направления, например във връзка с диференциалната геометрия върху диференцируеми многообразия и многомерни повърхнини, във връзка със случайните процеси (клон от теорията на вероятностите). Много съвременни математици от 60-те години на XX в. – американския математик Р. Белман, съветският учен акад. Л. Понтрягин и други, имат принос в тази дисциплина.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>