Аритметика

Аритметиката е област от математиката, която се занимава с числата и операциите между тях. Когато се говори за аритметика, обикновено се имат в предвид въпроси, свързани с произхода и развитието на понятието число, извършването на различни видове операции над конкретни числа, т. е. пресмятане на различни числени изрази, изследване аксиоматиката на различните числови множества и др. Често терминът аритметика се употребява и в случаи, когато се разглеждат операции над нечислови обекти. Понякога например се говори за аритметика на матрици, аритметика на вектори и др.

Смятането с числа възниква още в древността във връзка с практическите нужди на зараждащите се цивилизации. Поради това се появява и необходимостта числата да се записват с помощта на краен брой символи (цифри). Древните египтяни сравнително лесно събират и изваждат естествени числа, а при умножението единият множител първо е представян като сума от степени на двойката, след това тези степени са умножавани с другия множител; накрая получените резултати са събирани. По това време действията с дроби се свеждат до действия с дроби от вида \frac{1} {2} Шумерите и вавилонците пък записват числата в шестдесетична бройна система, поради което смятането при тях е свързано
с големи технически трудности.

Умножение по метода
на древните египтяни
5×13=5x(1+4+8)=5+20+40=65

Древните гърци разбират под думата аритметика изучаване свойствата на числата. Техниката на смятане при тях е предмет на отделна наука и фактически те отъждествяват аритметиката с теорията на числата. Това схващане на древните гърци се запазва у европейските цивилизации през средновековието и едва през епохата на Възраждането аритметиката започва да обединява както елементарната теория на числата, така и техниката на пресмятането.

Още в древността много народи извършват пресмятанията с помощта на т. нар. абак. В продължение на времето абакът променя формата си, но принципите за смятане с него остават едни и същи — по същество това са принципите за смятане с добре познатото и днес ученическо сметало. Широкото разпространение на абака става причина в средните векове той да стане синоним на понятието аритметика. Леонардо Пизански (XIII в.) например озаглавява своя трактат по аритметика „Книга за абака“. През XVII в Пикард и Б. Паскал независимо един от друг създават първите изчислителни машини, прототип на днешните механични сметачни машини. Широкото приложение на изчислителните машини в практиката обаче започва едва през XIX в. Днес в практиката пресмятанията се извършват с помощта на електронноизчислителни машини. Наред с развитието на методите за пресмятане се развива и разширява и понятието число.

Още древните гърци забелязват, че положителните рационални числа не са достатъчни, за да бъде измерена дължината на всяка отсечка. Хипасус (V в. пр. н. е.) — един от учениците на Питагор — доказва например, че дължината на диагонала на правилен петоъгълник със страна единица не може да се изрази с рационално число. За избягването на този парадокс Евдокс (III в. пр. н. е.) изгражда учението за пропорциите, където по същество стига до понятието положително реално число, което интуитивно може да се схваща като дължина на някаква отсечка.

Естествени числа – числата 1, 2, 3, …
цели числа – числата от 0, \pm1,\pm2, …
рационални числа – от вида \frac{p} {q},
където p и q са цели числа и q\neq0
комплексни числа – числата от вида
a+bi, където a и b са реални числа,
а i^2=-1

В Европа отрицателните числа се появяват за първи път в работите на Леонардо да Винчи (1452-1 519), който ги третира като дългове и ги нарича фиктивни числа. Ирационалните числа (т. е. тези реални числа, които не са рационални) се появяват в Европа през XV-XVI в. при решаване на уравнения от II и III степен и свързаното с това извличане на квадратен и кубичен корен от положително рационално число. пак Леонардо да Винчи разглежда методи за приближено пресмятане на квадратни и кубични корени. Обща трактовка на операциите с реални числа обаче липсва до края на XVIII в. Изобщо до това време действията с реални числа се ограничават до действия с числа, които може да се получат от рационалните чрез операциите събиране, изваждане, умножение, деление и коренуване.

При разглеждане на въпроси, свързани с решаване на квадратни уравнения, математиците от различни епохи (като се започне от древноиндийските) се сблъскват с понятието комплексно число. Правилата за смятане с комплексни числа обаче се появяват едва през XVI в. в работата на Бомбели, а формулите на Моавър и Ойлер от XVIII в. дават възможност за строго построяване на комплексните числа.

Джузепе Пеано
Джузепе Пеано (1858-1932)

Необходимостта от строго логическо изграждане на понятието число се чувства още от времето на Евклид (IV в. пе. н. е.) както в елементарната геометрия, така и при изграждането на понятието число. Математиците желаят да отделят неголям брой първични понятия и правила (аксиоми), от които след това да могат да изведат всички свойства на числата, като използват само законите на логиката. Това се осъществява чак в края на XIX в., когато Дж. Пеано дава система аксиоми за естествените числа. Като разглежда двойки естествени числа, К. Вайерщрас (1815 – 1897) дава строго построяване на целите числа, след това той построява рационалните числа, като разглежда наредени двойки цели числа. Накрая, като използват т. нар. теоретико-множествен подход, Дедекинд, Кантор и Вайерщрас изграждат теорията на реалните числа.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>