Алгебра

Алгебрата е основен дял на съвременната математика. В известен смисъл алгебрата може да се разглежда като продължение на аритметиката. Докато обаче елементарната аритметика се занимава с изучаването на операции върху конкретни числа, то алгебрата се интересува от общите закони на тези операции. Равенството 2+3=3+2 например е аритметично правило, докато твърдението, че за всеки две числа a и b е изпълнено условието a+b=b+a, е вече алгебричен закон.

Карл Фридрих Гаус
Карл Фридрих Гаус (1777 – 1855). Велик немски математик, астроном и геодез. Важни приноси във висшата алгебра, теорията на числата, теорията на редовете, диференциалната геометрия, неевклидовата геометрия, теория на грешките.

Основната цел на алгебрата до средата на XIX в. е намиране на корените на алгебрични уравнения и системни алгебрични уравнения. По-точно търсени са формули, чрез които корените на тези уравнения да се изразяват чрез коефициентите им с помощта на операциите събиране, умножение, изваждане, деление и коренуване. Ако за едно уравнение това изразяване е възможно, казва се, че уравнението е решимо в радикали. Още древните египтяни и вавилонци знаели как да намират корените на уравнения от първа и втора степен (линейни и квадратни уравнения). През XIII-XIV в. тези формули достигат в Европа през Северна Африка. В края на XV и началото на XVI в. италианските математици Сципион дел Феро, Тарталия, Кардано и Ферари намират формули, по които може да се намират корените на уравнения от трета и четвърта степени (кубични и биквадратни уравнения). През XVII в. френският математик Фр. Виет (1540 – 1603) открива зависимости между корените и коефициентите на произволно алгебрично уравнение от степен n. На него принадлежат и съвременните означения в алгебрата. До началото на XIX в. много математици се опитват безуспешно да открият формули за намиране корените на алгебрични уравнения от степен n≥5. Във връзка с това все по-голям интерес започва да предизвиква въпросът за съществуването на корен на произволно алгебрично уравнение. Още през XVII в. френският математик Жирар пръв изказва теоремата, че всяко алгебрично уравнение с комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Строгото доказателство на тази теорема, която носи и малко остарялото наименование основна теорема на алгебрата, се появява едва един век по-късно и принадлежи на един от най-великите математици на всички времена – К. Фр. Гаус. През 1824 г. норвежкият математик Н. Абел доказва, че в общият случай уравненията от степен n≥5 не са решими в радикали, а през 1830 г. Е. Галоа извежда общ критерий, по който може да се определи дали едно уравнение е решимо в радикали или не. Успореднос  теорията на алгебричните уравнения се развива и теорията на системните уравнения, в частност на системните линейни уравнения (т.е. уравнения от първа степен), от които възниква т. нар. линейна алгебра.

Нилс Абел
Нилс Абел (1802 – 1829). Норвежки математик с основни приноси в алгебрата, интегралното смятане, теория на редовете.

от средата на XIX в. центърът на тежестта на алгебричните изследвания постепенно започва да се измества от теорията на уравненията към изучаването на произволни алгебрични операции. Първите опити за аксиоматично изучаване на такива операции може да се видят още в „Елементи“ на Евклид (III в. пр. н. е.), но съществен прогрес в тази насока се осъществява едва след разширяването и задълбочаването на понятието число. Освен това постепенно започват да се появяват разнообразни примери за алгебрични операции над обекти, които стоят далеч от понятието число (например групи от субституции, матрици и др.).

За начало на съвременния етап в развитието на алгебрата може да се смята края на XIX и началото на XX в. Тогава тя се оформя като наука, която изучава общите закони на алгебричните операции. Съществен принос за изграждането на съвременната алгебра имат работите на математиците от Гьотингенската школа Д. Хилберт, И. Шур, Е. Ньотер, Е. Артин, Х. Вайл и др.

Еварист Галоа
Еварист Галоа (1811 – 1832). Френски математик, един от основоположниците на съвременната алгебра.

Съвременната алгебра изучава множества, в които са определени алгебрични операции (универсални алгебри), като те се разглеждат с точност до изоморфизъм, т.е. от гледна точка на алгебрата елементите на самите множества са без значение, а интерес представляват единствено операциите между тях. Тук трябва да се отбележи, че първоначално алгебричните операции са изследвани в конкретни универсални алгебри като групи, пръстени и полета. Едва през 30-те и 40-те години на XX в. започва интензивното развитие на онщата теория на универсалните алгебри, което е свързано с работите на американеца Г. Биркхоф, съветския математик А. И. Малцев, полския математик А. Тарски и др.

Значението на алгебрата в съвременната математика е изключително голямо. В момента една от основните тенденции в развитието на математиката е „алгебризацията“ на различните ѝ клонове. Типичен метод за изучаване на математически обекти (които често се намират твърде далеч от алгебрата) е построяването на универсални алгебри, които отразяват достатъчно пълно и точно отношенията между тези обекти. Тази роля на алгебрата в развитието на математиката в известен смисъл е подобна на ролята на компютрите при решаването на задачи от практиката.

Няма коментари - Остави коментар

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>