Математически науки

Математиката и мястото и в системата на науките

Платон
Платон

Математическите знания са съществен елемент на човешката цивилизация още от зараждането и. Възникнала от практическите нужди на хората, свързани с броенето и измерването, математиката (от грц. mathematike – математика) изминава сложен многовековен път на развитие, при което до голяма степен се откъсва от своя емпиричен първоизточник. Тя се издига над него, развива се по свои вътрешни закони, стига до небивали височини на абстрактност и общност. Като натрупва огромни вътрешни сили, математиката не остава затворена в себе си дисциплина, а прониква във все повече и повече други науки, както и в непосредствената човешка практика. Науки като физиката и механиката отдавна са приобщени към „математическите науки” – основните методи, които се използват в тях, са математически. Свидетели сме как химията и биологията все повече и повече се „математизират”. Обект на благотворна „агресия” от страна на математиката са и хуманитарните науки – икономическите и социалните науки, правото, лингвистиката – „математизацията” на науките не спира… Става все по-очевидно, че е необходимо специалистите във всички сфери на човешкото знание да притежават известна математическа култура. Изглежда, не случайно великият древногръцки мислител Платон (427-347 г. пр.н.е.) написва на входа на своята „Академия”: „Да не влиза тук онзи, който не знае геометрия”. По онова време геометрията е изчерпвала почети цялото математическо знание, а самата дума „геометър” и през XIX в. е смятана за синоним на математик. Днес при масовото навлизане на изчислителната техника както в науката и техниката, така и в бита само владеенето на солидни математически познания може да ни издигне над машината, защото компютърът може само да изпълнява заложена в него програма, направена от математически образован човек.

Ето защо е необходимо да се изясни въпросът: Що е математика? Разбира се, като научно и обществено явление математиката не може да бъде отделена от хората, които я създават и развиват – математиците. Особено за млади хора е важно да се знае какви качества трябва да притежава един наш съвременник за да може успешно да се занимава с математика.

Не е съвсем лесно да се дава определение за математиката – сравнително точна представа за нея може да се получи, като се отговори на въпроса, какъв е предмета и.

Фридрих Енгелс
Фридрих Енгелс

Всяка от познатите ни науки – физика, химия, биология – изучава определен (по-малко или повече точно очертан) кръг от явления, наречени съответно физични, химични, биологични и т.н. Още Фридрих Енгелс съзира в огромното многообразие от процеси и явления физичната, химичната, биологичната и други механични и обществени форми на движение на материята. Ако се потърси отделна форма на движение на материята – математична, съвсем реална е опасността да не се открие такава. Също така едва ли може да се открият явления, които да могат да се нарекат математични, без те да са физични, химични, биологични и т.н. Все пак може да се открият неща в действителността, с които се занимава математиката – равнинни и пространствени фигури; в тях търсим зависимости между размерите, лицата и обемите им. Но това далеч не изчерпва онова, което интересува математиката. Рязко различният характер на математичните знания от знанията в другите науки изпъква, когато се постави въпросът, по какво може да се съди дали едно знание е истина или не. Мерило за това е човешката практика в пряк и преносен смисъл. Но нито една математическа теорема не може да бъде нито доказана, нито опровергана от човешката практика.

Галилео Галилей
Галилео Галилей

Оказа се, че критерият за истинност на математическите твърдения не е практиката. Тогава възниква въпросът: А изобщо наука ли е математиката? Ако под наука се разбира познавателната дейност на човека, насочена към обективно съществуващи явления в действителността, твърде вероятно е отговорът да се окаже отрицателен. В началото на XX в. в един провинциален американси университет възниква спор между преподавателите: дали на студентите по физика трябва да се чете повече математика или повече древни езици. Тогава участващият в спора физик Уилям Гибс (1839 – 1903) успокоил колегите си: той не виждал никакво основание за спор, тъй като „математиката е също език”. Гибс, макар и велик физик, не е бил съвсем оригинален – през XVII в. Галилео Галилей пише: „Философията е написана в грандиозна книга, която е отворена винаги, за всички и за всекиго – имам предвид природата. Но да я разбира може само онзи, който се е научил да разбира нейният език и знаците, на които тя е написана. А тя е написана на математически език, а знаците и са математическите формули.”

Крилатата фаза на Гибс: „Математиката е език” обяснява много страни на математиката, но не всички. Съвременният физик Р. Файнман казва: „Математиката не е само език. Тя е език плюс разсъждение, нещо като език и логика заедно”. Като се казва, че математиката е език, подразбира се, че това е език на науката, а не език за общуване между хората. Всяка наука има свой език. Езикът на химичните формули например обслужва по един забележително сполучлив начин химията, като позволява не само да се обясняват вече познати явления, но и да се предвиждат нови. Езикът на математиката е още по-универсален.

Ако се приеме, че математиката е език, трябва да може да се обясни защо другите науки може да „говорят” на този език; да се покаже къде са корените на математизацията на науките. За тази цел обаче е необходимо малко да се надникне в „кухнята” на математиката. На помощ идва аналогията: както в граматиката се изучават начините за образуване на изречения от отделни думи по определени правила, така и в математиката се изказват и доказват твърдения, като се тръгва от определени предпоставки и се използват строго определени начини за извеждане на заключения от тях. В това се състои великото наследство от древногръцката математика – аксиоматичният метод. Възникването на този метод в древна Гърция се характеризира от историците на математиката като „гръцко чудо”; то не може да се обясни лесно. Ако обаче на древногръцката математика се гледа като на съставна част от цялата древногръцка култура, предпоставките на това „чудо” може да се открият в трудовете на древногръцките мислители Платон (427 – 347 г. пр.н.е.) и Аристотел (384 – 322 г. пр.н.е.); те не били математици, но схващали абсолютно правилно мястото и ролята на математиката. Аристотел е създател на логиката като наука, която става и основен инструмент в математическите разсъждения.

Евклид
Евклид

Шедьовър на древногръцката математика е съчинението на Евклид (III в. пр. н. е.) „Елементи”, в което са приведени в система всички математически познания по онова време. Почти две хилядолетия „Елементи” е образец на математическа строгост. В него са изградени цялата планиметрия и стереометрия (които сега се изучават в средното училище) заедно с елементи на теорията на числата. Евклид формулира аксиоми и полстулати, от които се стреми да извежда всички останали твърдения. Днес е известно, че това съчинение не е безупречно, че в него мълчаливо се използват редица твърдения, които не са нито прости, нито очевидни.

Йохан Кеплер
Йохан Кеплер

Заслуга на древните гърци е въвеждането на каноничните сечения – кривите елипса, хипербула и парабола, за които през XVII в. Йохан Кеплер (1571 – 1630) и Исак Нютон (1642 – 1727) показват, че са траекториите на небесните тела, движещи се в слънчевата система. Гърците много биха се учудили на това приложение на каноничните сечения, тъй като съзнателно избягвали да прилагат „божествената” геометрия. Разбира се, антиисторично е да осъждаме гърците за презрителното им отношение към приложенията на математиката – просто не е съществувала обществена потребност от такива приложения. Когато такава обективна потребност възниква, математиците поемат своя дял без колебание. Блестящ е примерът на Архимед (287 – 212 г. пр. н. е.), който се прославя не само с ненадминати резултати в геометрията, но и с приложения в механиката.

През XVI и XVII в. в Европа се извършва качествен скок в развитието на математиката. Френският математик Рене Декарт (1596 – 1650) създава аналитичната геометрия – първията алгебричен модел на евкалидовата геометрия. Използването на алгебричния метод в геометрията позволява бързо да бъдат надминати постиженията на древните гърци в геометрията и да се решат нови задачи, нерешими с използването на техните методи. Решават се много нови задачи за намиране на лица (квадратури) и обеми (кубатури) от най-видните математици на времето: Пиер дьо Ферма (1601 – 1665), Блез Паскал (1623 – 1662), Кавалиери, Робервал и др. Постепенно се оформя и понятието скорост на неравномерно движение в даден момент – първообраз на понятието производна. Синтезът на тези постижения в една система е осъществен по независим начин от двама велики математици: Исак Нютон и Готфрид Лайбниц (1646 – 1716). Те създават диференциалното и интегралното смятане, които стават основа на небесната и „земната” механика. Целият следващ XVIII в. е посветен на по-нататъшното развитие на диференциалното и интегралното смятане, чрез които Леонард Ойлер (1707 – 1783) и Жозеф Лагранж (1736 – 1813) изграждат качествено новата дисциплина вариационно смятане. С помощта на тази дисциплина са решени трудни задачи за максимум и минимум на изрази, които зависят от неизвестни търсени функции. Това е ново развитие на понятието функция.

Огюстен Коши
Огюстен Коши

В началото на XIX в. вече е натрупан толкова много разнороден материал, че се налага в него да бъде въведен ред. Заслугата за строгото изграждане на математическия анализ на основата на понятието граница принадлежи на Огюстен Коши (1789 – 1857), Болциано (1781 – 1848), Карл Вайерщрас (1815 – 1897) и на много техни ученици.

С това започва съвременният период в развитието на математиката. Условно той често се нарича теоритико-множествен период, тъй като създадената в края на миналия век от Георг Кантор (1845- 1918) теория на множествата постепенно става универсален език на почти цялта математика. И все пак езикът не определя същността – за да се говори на един език, трябва да има какво да се казва на него.

Обектите на математиката не са просто елементи на някакви множества, а са елементи на математически структури. Накратко казано, под математическа структура се разбира някакво множество с формулирани аксиоми, които определят зависимости между елементите на това множество. Класически примери за математически структури са групите, пръстените, полетата, линейните пространства, топологичните пространства. Това са примери за „чисти” структури – алгебрични или топологични. Има много смесени структури: топологични групи, вероятностни пространства, геометрична алгебра и др.

Определението на математиката като учение за математическите структури е вътрешно определение. Истинското определение на математиката трябва да включва и определението за това, какво е математическата структура, а също и отношението на математиката към действителността. Може с известно приближение да се каже, че математиката се занимава с изучаване на зависимости между абстрактни обекти и с установяване на съответствия между тези зависимости и зависимости между обекти в реалната действителност. Под абстрактни обекти трябва да се разбират елементи на всякакво множество, в което е въведена някаква математическа структура.

Съществуват и доста точни афористични определения за това, що е математика. Английският математик и логик Бъртранд Ръсел (1872 – 1970) казва, че математиката е „предмет, в който никога не знаем за какво говорим и дали е вярно онова, което казваме”. Първата част на този афоризъм отразява абстрактния характер на математическите обекти, а втората – че критерият за истинност в математиката не е практика.

Разбира се, колкото и остроумно да е едно негативно определение на математиката, то не заменя нуждата от положително определение.

Математиката има скрита естетическа привлекателност, която може да почувства само онзи, който не пожали известен труд за вникване в нещата по същество. Така е и с истинските ценности в литературата, живописта и музиката. Математиката твърде много прилича на изкуството. Тъй като изкуството не може да бъде почувствано истински от статии за него, така и математиката не може да бъде оценена както трябва без истински контакт с нея. Такъв контакт е особено благотворен за млади хора, тъй като може да формира здрав вкус не само към математическото, но изобщо към научно изследване. По най-убедителен начин историята ни учи, че от всички клонове на знанието, най-бързо младият човек може да стигне до последните постижения на науката именно в областта на математиката. Примерът на Еварист Галоа (1811 – 1832), който оставя името си в математиката, макар и да е загинал съвсем млад на дуел, не е изключение, а по-скоро правило.

Карл Фридрих Гаус
Карл Фридрих Гаус

Карл-Фридрих Гаус (1777 – 1855) написва епохалното си произведение „Аритметични изследвания” също на 20 години.

Нека завършим тази уводна статия за математиката с думите на големия физик Р. Файнман: „Математиката… не е наука в смисъл, че тя не спада към естествените науки. Нали мерило за истинност в нея съвсем не е опитът. Между другото не всичко онова, което не е наука, е непременно нещо лошо. Любовта например също не е наука. С една дума, когато за нещо се каже, че не е наука, това не означава, че в него има нещо нередно: то просто не е наука и това е.”

1 коментар - Остави коментар
  1. Aleksandrina казва:

    Zdraveyte,
    ne moga da ne izkaja izumlenieto si ot statiyte i kolko mi byaha polezni i intriguvashti pri kandidat- studentskata podgotovka….Blagodarnosti.. i Uspeh!

Вашият коментар

Вашият имейл адрес няма да бъде публикуван. Задължителните полета са отбелязани с *

*

Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>